第8章 各式各样的数学题
古代巴比伦王国的位置，在西亚底格里斯河和幼发拉底河的中下游地区，现在的伊拉克境内，巴比伦国家建立于公元前１９世纪，是世界四大文明古国之一。
巴比伦人使用特殊的楔形文字，他们把文字刻在泥板上，然后晒干，泥板晒干后和石头一样坚硬，可以长期保存。
从发掘出来的泥板上，人们发现了３０００多年前巴比伦人出的数学题：
“１０个兄弟分１００两银子，一个人比一个人多，只知道每一级相差的数量都一样，但是究竟相差多少不知道，现在第八个兄弟分到６两银子，问一级相差多少？”
如果１０个兄弟平均分１００两银子，每人应该分１０两，现在第八个兄弟只分到了６两，说明老大分得最多，往下是一个比一个少。
按着题目所给定的条件，应该有以下关系：
老二得到的是老大减去一倍的差，
老三得到的是老大减去二倍的差，
老四得到的是老大减去三倍的差，
……
老十得到的是老大减去九倍的差。
这样，老大与老十共得银两
＝老二与老九共得银两
＝老三与老八共得银两
＝老四与老七共得银两
＝老五与老六共得银两
＝２０两
已知老八得６两，可求出老三得２０－６＝１４两，老三比老八多得１４－６＝８，另一方面，老三与老八相差７－２＝５倍的差，因此，
差＝８÷５＝１.６（两）
答：一级相差１.６两银子。
巴比伦的数学和天文学发展很快，他们除了首先使用６０进位制外，还确定一个月（月亮月）有３０天，一年（月亮年）有１２个月亮月，为了不落后太阳年，在某些年里用规定闰月的办法来纠正。
巴比伦人了解行星的存在，他们崇拜太阳、月亮、金星，把数３看作是“幸福的”，晚些时候，他们又发现了木星、火星、水星、土星，这时数７被看作是“幸福的”。
巴比伦人特别注意研究月亮，把弯月的明亮部分与月面全面积之比，叫做“月相”，在一块泥板上记载有关月相的题目：
“设月亮全面积为２４０，从新月到满月的１５天中，头５天每天都是前一天的２倍，即５，１０，２０，４０，８０，后１０天每天都按着相同数值增加，问增加的数值是多少？”
月亮全面积为２４０，第五天月亮面积为８０，后１０天月亮共增加的面积为２４０－８０＝１６０。
因此，每天增加的数值为１６０÷１０＝１６。
答：增加的数值为１６。
２．纸草上的
《兰特纸草书》是４０００年前古埃及人的一本数学书，上面用象形文字记载了许多有趣的数学题，比如：
在７，７×７，７×７×７，７×７×７×７，７×７×７×７×７，……
这些数字上面有几个象形符号：房子、猫、老鼠、大麦、斗，翻译出来就是：
“有７座房子，每座房子里有７只猫，每只猫吃了７只老鼠，每只老鼠吃了７穗大麦，每穗大麦种子可以长出７斗大麦，请算出房子、猫、老鼠、大麦和斗的总数。”
奇怪的是古代俄罗斯民间也流传着类似的算术题：
“路上走着七个老头，
每个老头拿着七根手杖，
每根手杖上有七个树杈，
每个树杈上挂着七个竹篮，
每个竹篮里有七个竹笼，
每个竹笼里有七个麻雀，
总共有多少麻雀？”
古俄罗斯的题目比较简单，老头数是７，手杖数是７×７＝４９，树杈数是７×７×７＝４９×７＝３４３，竹篮数是７×７×７×７＝３４３×７＝２４０１，竹笼数是７×７×７×７×７＝２４０１×７＝１６８０７，麻雀数是７×７×７×７×７×７＝１６８０７×７＝１１７６４９。总共有十一万七千六百四十九只麻雀，七个老头能提着十一万多只麻雀溜弯儿，可真不简单啊！若每只麻雀按２０克算，这些麻雀有２吨多重。
《兰特纸草书》上在猫吃老鼠、老鼠吃大麦的问题后面有解答，说是用２８０１乘以７。
求房子、猫、老鼠、大麦和斗的总数，就是求和７＋７×７＋７×７×７＋７×７×７×７＋７×７×７×７×７＝７＋４９＋３４３＋２４０１＋１６８０７＝１９６０７。这同上面２８０１×７＝１９６０７的答数一样，古代埃及人在４０００多年前就掌握了这种特殊的求和方法。
类似的问题在一首古老的英国童谣中也出现过：
“我赴圣地爱弗西，
途遇妇子数有七，
一人七袋手中提，
一猫七子紧相依，
妇与布袋猫与子，
几何同时赴圣地？”
意大利数学家斐波那契在１２０２年出版的《算盘书》中也有类似问题：
“有７个老妇人在去罗马的路上，每个人有７匹骡子；每匹骡子驮７只口袋，每只动袋装７个大面包，每个面包带７把小刀，每把小刀有七层鞘，在去罗马的路上，妇人、骡子、面包、小刀和刀鞘，一共有多少？”同一类问题，在不同的时代、不同的国家以不同的形式出现，但是，时间最早的还要数古埃及《兰特纸草书》。
古埃及还流传着“某人盗宝”的题目：
“某人从宝库中取宝13，另一人又从剩余的宝中取走117，宝库中还剩宝１５０件，宝库中原有宝多少件？”
这个问题的提法与现行教科书上的题目很相像，可以这样来解：
设宝库中原有宝为１，则第一人取走13，第二人取（1-12）×117=252
宝库最后剩下
1-13-(1-13)×117=1-13-251=3251。
因此，宝库原有宝
150÷3251=150×5132=23916。
列出综合算式为
150÷\[1-13-（1-13）×117=239116。
《兰特纸草书》还有这样一道题：
“有物品若干件，其三分之二，其一半，其七分之一及其全部，共３３件，求物品的件数。”
用算术法来解，可设全部为１，则物品的件数为
33÷（23+12+17+1）
=33÷9742=33×4297
=142897
答案是唯一的，但是纸草书上的答案却是
14，14，156，197，1194，1388，1679，1776。这是怎么回事？难道这道题有八个答案吗？
原来纸草书上用古埃及分数的形式给出答案，意思是14+14+156+197+1194+1388+1679+1776。不妨算出来看看：
14+14+156+197+1194+1388+1679+1776
=14+1456+156+197+197×2+197×4+197×7+197×8
=14+1456+8+4+2+197×8+197×7
=14+1456+1597×8+197×7
=14+1456+11397×56
=14+156897×56=142897
这和我们算得的答案相同。
３．诗歌中的
希腊是世界文明古国之一，它有着灿烂的古代文化，在《希腊文集》中有一些用诗歌写成的数学题。
在“爱神的烦忧”中，爱罗斯在古代希腊神话中的爱神，吉波莉达是塞浦路斯岛的守护神，九位文艺女神中，叶芙特尔波管音乐，爱拉托管爱情诗，达利娅管喜剧，特希霍拉管舞蹈，美利波美娜管悲剧，克里奥管历史，波利尼娅管颂歌，乌拉尼娅管天文，卡利奥帕管史诗。
爱神的烦忧
“爱罗斯在路旁哭泣，
泪水一滴接一滴。
吉波莉达向前问道：
‘是什么事情使你如此悲伤？
我可能够帮助你？’
爱罗斯回答道：
‘九位文艺女神，
不知来自何方，
把我从赫尔康山采回的苹果，
几乎一扫而光。
叶芙特尔波飞快抢走十二分之一，
爱拉托抢得更多——
七个苹果中拿走一个。
八分之一被达利娅抢走，
比这多一倍的苹果落入特希霍拉之手。
美利波美娜最是客气，
只取走二十分之一。
可又来了克里奥，
她的收获比这多四倍。
还有三位女神，
个个都不空手：
３０个苹果归波利尼娅，
１２０个苹果归乌拉尼娅，
３００个苹果归卡利奥帕。
我，可怜的爱罗斯，
爱罗斯原有多少苹果？还剩５０个苹果。’”
这首２６行的诗，给出了一道数字挺多的数学题，题目中原有苹果数不知道，经过九位文艺女神的抢劫，爱罗斯只剩下５０个苹果，是“知道部分求全体类型”的数学题。
设爱罗斯原有苹果数为ｘ。
依题意，得
112x+17x+18x+14x+120x+15x
+30+120+300+50=x
整理，得143168x+500=x
∴ｘ＝３３６００（个)
下面的“独眼巨人”中给出了另一种类型的数学题：
“这是一座独眼巨人的铜像，
雕塑家技艺高超，
铜像中巧设机关：
巨人的手、口和独眼，
都连接着大小水管，
通过手的水管，
三天流满水池；
通过独眼的水管——需要一天；
从口中吐出的水更快，
五分之二天就足够，
三处同时放水，
水池几时流满？”
设水池的容积为１，三管同开流满水池所需时间为ｘ天，
则13x+x+52x=1
∴x=623
下面是我国的一首打油诗：
“李白提壶去买酒：
遇店加一倍，
见花喝一斗。
三遇店和花，
喝光壶中酒。
试问壶中原有多少酒？”
这首打油诗的意思是，李白的壶里原来就有酒，每次遇到酒店便将壶里的酒增加一倍；李白赏花时就要饮酒作诗，每次一次喝一斗酒（斗是古代装酒的器具），这样反复经过三次，最后将壶中的酒全部喝光，问李白原来壶中有多少酒？
解这道题最好使用反推法来解：
李白第三次见到花时，将壶中的酒全部喝光了，说明他见到花前，壶内只有一斗酒。进一步推出李白第三次遇到酒店前，壶里有12斗酒，按着这种推算方法，可以算出第二次见到花前，壶里有112斗酒，第二次见到酒店前壶里有112÷2=34斗酒；第一次见到花前壶134里有斗酒，第一次遇到酒店前，壶里有原来壶里有斗酒134÷2=78原来壶里有78斗酒。
４．遗嘱里的
在按遗嘱分配遗产的问题中，有许多有趣的数学题。
俄国着名数学家斯特兰诺留勃夫斯基曾提出这样一道分配遗产问题：“父亲在遗嘱里要求把遗产的13分给儿子，25分给女儿；剩余的钱中，２５００卢布偿还债务。３０００卢布留给母亲，遗产共有多少！子女各分多少！”
设总遗产为ｘ卢布。
则有13x＋25x＋２５００＋３０００＝ｘ
解得：ｘ＝２０６２５。
儿子分２０６２５×13＝６８７５（卢布)，
女儿分２０６２５×25＝８２５０（卢布)。
结果是女儿分得最多，得８２５０卢布，儿子次之，得６８７５卢布，母亲分得最少，得３０００卢布，看来父亲是喜爱自己的女儿。
下面的故事最初在阿拉伯民间流传，后来传到了世界各国，故事说，一位老人养了１７只羊，老人去世后在遗嘱中要求将１７只羊按比例分给三个儿子，大儿子分给12，二儿子分给13，三儿子分19，在分羊时不充许宰杀羊。
看完父亲的遗嘱，三个儿子犯了愁，１７是个质数，它既不能被２整除，也不能被３和９整除，又不许杀羊来分，这可怎么办？
聪明的邻居得到这个消息后，牵着一只羊跑来帮忙，邻居说：“我借给你们一只羊，这样１８只羊就好分了。”
老大分１８×12＝９（只)，
老二分１８×13＝６（只)，
老三分１８×19＝２（只)。
合在一起是９＋６＋２＝１７，正好１７只羊，还剩下一只羊，邻居把它牵回去了。
羊被邻居分完了。再深入想一想这个问题，我们会发现遗嘱中不合理的地方，如果把老人留的羊做为整体１的话，由于12+13+19=1718所以或者是三个儿子不能把全部羊分完，还留下118，哪个儿子也没给1817；或者是要比他所留下的羊再多出一只时，才可以分，聪明的邻居就是根据1718这个分数，又领来一只羊，凑成1818，分去1718，还剩下118只羊，就是他自己的那只羊。
再看一道有关遗嘱的题目：
某人临死时，他的妻子已经怀孕，他对妻子说：“你生下的孩子如果是男的，把财产的23给他，如果是女的25，把财产的给她，剩下的给你。”说完就死了。
说也凑巧，他妻子生下的却是一男一女双胞胎，这一下财产将怎样分？
可以按比例来解：
儿子和妻子的分配比例是23∶13=2∶1
女儿和妻子的分配比便是25∶35=2∶3。
由此可知女儿、妻子、儿子的分配比例是２∶３∶６，按这个比例分配就合理了。
５．民谣中的
在世界各地流传着一些用民谣形式写成的数学题。
美国民谣：
“一个老酒鬼，名叫巴特恩，
吃肉片和排骨共用钱九角四分，
每块排骨一角一，每片肉价只七分，
连排骨带肉片吃了整十块哟，
问问你：
吃了几块排骨几片肉，我们的巴特恩？”
可以这样来解算：
假设巴特恩吃的是十片肉片的话，他一共花７０分钱，用９４分减去７０分，得差２４分，这２４分钱是什么呢！
由于巴特恩吃的不都是肉片，有排骨，而一块排骨比一片肉片贵１１－７＝４分，这２４分是排骨和肉片差价得到的，可以求出巴特恩吃的排骨数：
（９４－７×１０)÷（１１－７)
＝２４÷４＝６（块)
１０－６＝４（片)
巴特恩吃了六块排，四片肉片。
中国也有类似的民谣：
“一队强盗一队狗，
二队并作一队走，
数头一共三百六，
数腿一共八百九，
问有多少强盗多少狗？”
这道题和《孙子算经》中的“鸡兔同笼”是同一种类型题，只不过，把鸡换成强盗，把兔换成狗就是了，具体算法是：
（３６０×４－８９０)÷（４－２)＝２７５
３６０－２７５＝８５
强盗有２７５人，狗有８５条。
还有首中国民谣：
“几个老头去赶集，
半路买了一堆梨，
一人一个多一个，
一人两个少两梨。
究竟有几个老头、几个梨？”
设人数为ｘ，则梨为ｘ＋１个，依题意，得：
２ｘ＝（ｘ＋１）＋２，
ｘ＝３，
ｘ＋１＝４
“寒鸦与树枝”是一首俄罗斯的民谣：
“飞来几只寒鸦，
落到树枝上停歇。
要是每支树枝上
落下一只寒鸦，
那么就有一只寒鸦
缺少一支树枝；
要是每支树枝上
落下两只寒鸦，
那么就有一支树枝
落不上寒鸦。
你说共有几只寒鸦？
你说共有几支树枝？”
可以这样来解：
如果每支树枝上落两只寒鸦，比每支树枝落一只寒鸦共多出２＋１＝３只寒鸦，而这时每支树枝上所落寒鸦只数的差是２－１＝１只。
用多出来的寒鸦数除以每支树枝寒鸦数，就等于树枝数。
因此，
（２＋１)÷（２－１）
＝３÷１＝３（支)
寒鸦数为３＋１＝４（只)。
答案是有３支树枝，４只寒鸦。
下面这首民谣也很有趣，是中国民谣：
“牧童王小良，放牧一群羊。
问他羊几只，请你细细想。
头数加只数，只数减头数。
只数乘头数，只数除头数。
四数连加起，正好一百数。”
其实头数和只数是一回事，因此，只数减头数得０，只数除头数得１。这样一来，有：只数×只数＋２×只数＝９９。
使用试验法，可得只数等于９，因为
９×９＋２×９＝９９，故羊有９只。