第13章 168之谜
解上述比例，可求得x\/L=0.168。
自古希腊始，人们就认为1：0.168这种比在造型艺术中具有美学价值，如在工艺美术和日常生活用品的长和宽的设计中运用这种比例易引起美感。我国着名数学家华罗庚运用“黄金分割”创造了优选法，对促进我国的现代化建设起了十分重要的作用。
黄金数
用代数解方程的知识可以求得中外比的比值。
设线段全长ＡＢ＝ａ，大段ＡＰ＝ｘ，则小段ＢＰ＝ａ－ｘ，
于是，a-xx=xa
即ｘ２＋ａｘ－ａ２＝０
x-a±5a2
舍去负根，得x=5-12a
因此，xa=5-12a
这就是说，中外比的比值为5-12
中外比的比值，叫做“黄金数”，用记号ｇ表示。请记住：
ｇ＝5-12。
由于5=2.236…所以
ｇ＝０.６１８。
黄金分割法
２０００多年前，古希腊的柏拉图派学者欧多克斯，首先使用规尺分已知线段为“黄金分割”，他的作法如下：
１.过Ｂ点，作ＢＣ⊥ＡＢ，而且使ＢＣ＝１２ＡＢ；
２.连ＡＣ；
３.以Ｃ为圆心，ＣＢ为半径作圆弧，交ＡＣ于Ｄ；
４.以Ａ为圆心，ＡＤ为半径作圆弧交线段ＡＢ于Ｐ，则Ｐ点分ＡＢ成黄金分割。
这个作法十分简便，证明也很容易。
设ＡＢ＝ａ，则ＢＣ＝a2，由勾股定理可知：
AC=AB2+BC2=a2+(a2)=52a；
AD=AC-DC=52a-a2=5-12a；
AP=AD=5-12a。
这就证明了，Ｐ点分ＡＢ成黄金分割。
这个作图方法，叫做“黄金分割法”，Ｐ点为“黄金分割点”。
辗转分割
设点Ｐ１将线段ＡＢ分成黄金分割，即：
ＢＰ１∶ＡＰ１＝ｇ；
取ＡＢ中点Ｏ，作点Ｐ１关于点Ｏ的对称点Ｐ２，则点Ｐ２有下述重要性质：
１．点Ｐ２也将线段ＡＢ分成黄金分割。
这是因为：
ＡＰ２＝ＢＰ１，ＢＰ２＝ＡＰ１，
ＡＰ２∶ＢＰ２＝ＢＰ１∶ＡＰ１＝ｇ，
所以点Ｐ２也分ＡＢ成黄金分割，
由此可知，每条线段有两个黄金分割点。
２．点Ｐ２还分线段ＡＰ１成黄金分割。
证明如下：由于ＢＰ１∶ＡＰ１＝ｇ，而ＡＰ２＝ＢＰ１，
所以ＡＰ２∶ＡＰ１＝ｇ，这就说明Ｐ２分ＡＰ１成黄金分割。
３．作Ｐ２，关于线段ＡＰ１中点的对称点Ｐ３，则ＡＰ３将ＡＰ２黄金分割。如此继续利用对称，辗转相割，可以得到一系列的黄金分割点。
黄金矩形
国外，有位画家举办过一次画展，所有的画面都是不同比例的矩形，有的狭长，有的正方。据统计数字表明，观众最喜爱的宽与长之比为ｇ的矩形画面。人们称这种矩形为“黄金矩形”。
黄金矩形有个奇特的性质，如果矩形ＡＢＣＤ是黄金矩形，即ＤＡ∶ＡＢ＝ｇ，在它的内部截去一个正黄金矩形。这个过程继续下去，还可以得到一系列的黄金矩形。这个美妙的结论，请你自己证明吧。