第42章 悬而未决的费马数
1640年，费马发现：设Fn=22n+1，则当n=0，1，2，3，4时，Fn分别给出3，5，17，257，65537，都是素数。这种素数被称为“费马数”。由于F5太大（F5=4294967297）他没有再进行验证就直接猜测：对于一切自然数n，Fn都是素数。不幸的是，他猜错了。1732年欧拉发现：F5=225+1=4294967297=614×6700417，偏偏是一个合数！1880年，又有人发现F6=226+1=27477×67280421310721，也是合数。
不仅如此，以后陆续发现F7，F8……直到F19以及许多n值很大的Fn全都是合数！虽然Fn的值随着n值的增加，以极快的速度变大（例如1980年求出F8=1238926361552897×一个62位数），目前能判断它是素数还是合数的也只有几十个，但人们惊奇地发现：除费马当年给出的5个外，至今尚未发现新的素数。这一结果使人们反过来猜测：是否只有有限个费马数？是否除费马给出的5个素数外，再也没有了？可惜的是，这个问题至今还悬而未决，成了数学中的一个谜。