第23章 千古之谜
换句话说，在ｎ＞２时，
ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ（１)
没有正整数。这就是举世闻名的费尔马大定理。
“关于这个命题”，费尔马说：“我有一个奇妙的证明，但这里的空白太小了，写不下。”
人们始终未能找到弗尔马的“证明”。很多数学家攻克这座城堡，至今未能攻克。所以，费尔马大定理实际上是费尔马大猜测。人们在费尔马的书信与手稿中，只找到了关于方程
ｘ４＋ｙ４＝ｚ４（２）
无正整数解的证明，恐怕他真正证明的“大定理”也就是这ｎ＝４的特殊情况。
既然（２）无正整数解，那么方程
ｘ４ｋ＋ｙ４ｋ＝ｚ４ｋ（３）
无解（如果（３）有解，即有正整数ｘ０，ｙ０，ｚ０使
ｘ０４ｋ＋ｙ０４ｋ＝ｚ０４ｋ（３)
那么（ｘ０ｋ）４＋（ｙ０ｋ）４＝（ｚ０ｋ）４
这与（２）无解矛盾！
同理，我们只要证明对于奇素数Ｐ，不定方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ（４）
无正整数解，那么费尔马大定理成立（因为每个整数ｎ＞２，或者被４整除，或者有一个奇素数ｐ是它的因数）。
（４）的证明十分困难。在费尔马逝世以后９０多年，欧拉迈出了第一步。他在１７５３年８月４日给哥德巴赫的信中宣称他证明了在ｐ＝３时，（４）无解。但他发现对ｐ＝３的证明与对ｎ＝４的证时截然不同。他认为一般的证明（即证明（４）对所有的素数ｐ无正整数解）是十分遥远的。
一位化名勒布朗的女数学家索菲·吉尔曼（１７７６—１８３１）为解费尔马大定理迈出了第二步。她的定理是：
“如果不定方程
ｘ５＋ｙ５＝ｚ５
有解，那么５｜ｘｙｚ。”
人们习惯把方程（４）的讨论分成两种情况。即：如果方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ
无满足ｐ｜ｘｙｚ的解，就说对于ｐ，第一种情况的费尔马大定理成立。
如果方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ
无满足ｐ｜ｘｙｚ的解，就说对于ｐ，第二种情况的费尔马大定理成立。
因此，吉尔曼证明了ｐ＝５，第一种情况的费尔马大定理成立。她还证明了：如果ｐ与２ｐ＋１都是奇素数，那么第一种情况的费尔马大定理成立。她还进一步证明了对于≤１００的奇素数ｐ，第一种情况的费尔马大定理成立。
在欧拉解决ｐ＝３以后的９０余年里，尽管许多数学家企图证明费尔马大定理，但成绩甚微。除吉尔曼的结果外，只解决了ｐ＝５与ｐ＝７的情况。
攻克ｐ＝５的荣誉由两位数学家分享，一位是刚满２０岁、初出茅庐的狄利克雷，另一位是年逾７０已享盛名的勒仕德。他们分别在１８２５年９月和１１月完成了这个证明。
ｐ＝７是法国数学家拉梅在１８３９年证明的。
这样对每个奇素数ｐ逐一进行处理，难度越来越大，而且不能对所有的ｐ解决费尔马大定理。有没有一种方法可以对所有的ｐ或者至少对一批ｐ，证明费尔马大定理成立呢？德国数学家库麦尔创立了一种新方法，用新的深刻的观点来看费尔马大定理，给一般情况的解决带来了希望。
库麦尔利用理想理论，证明了对于ｐ＜１００费尔马大定理成立。巴黎科学院为了表彰他的功绩，在１８５７年给他奖金３０００法郎。
库麦尔发现伯努列数与费尔马大定理有重要联系，他引进了正规素数的概念：如果素数ｐ不整除Ｂ２，Ｂ４……，Ｂｐ－３的分母，ｐ就称为正规素数，如果ｐ整除Ｂ２，Ｂ４……，Ｂｐ－３中某一个的分母就称为非正规素数。例如５是正规数，因为Ｂ２的分母是６而５×６。７也是正规素数，因为Ｂ２的分母是６，Ｂ４的分母是３０，而７×６，７×３０。
１８５０年，库麦尔证明了费尔马大定理对正规素数成立，这一下子证明了对一大批素数ｐ，费尔马大定理成立。他发现在１００以内只有３７、５９、６７是非正规素数，在对这三个数进行特别处理后，他证明了对于ｐ＜１００，费尔马大定理成立。
正规素数到底有多少？库麦尔猜测有无限个，但这一猜测一直未能证明。有趣的是，１９５３年，卡利茨证明了非正规素数的个数是无限的。
近年来，对费尔马大定理的研究取得了重大进展。１９８３年，西德的伐尔廷斯证明了“代数数域Ｋ上的（非退化的）曲线Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，在出格ｇ＞１时，至多有有限多个Ｋ点。”
作为它的特殊情况，有理数域Ｑ上的曲线
ｘｎ＋ｙｎ－１＝０（５）
在亏格ｇ＞１时，至多有有限多个有理点。
这里亏格ｇ是一个几何量，对于曲线（５），ｇ可用
g=（n-1）(n-2)2
来计算，由（６）可知在ｎ＞３时，（５）的亏格大于１，因而至多有有限多个有理点（ｘ，ｙ）满足（５）。
方程
ｘｎ＋ｙｎ＝２ｎ
可以化成
x2n+y4n-1=0
改记x2，y2为（ｘ，ｙ），则（７）就变成（５）。因此由（５）只有有限多个有理数解ｘ、ｙ，立即得出（１）只有有限多个正整数解ｘ、ｙ、ｚ，但这里把ｘ、ｙ、ｚ与ｋｘ、ｋｙ、ｋｚ（ｋ为正整数）算作同一组解。
因此，即使费尔马大定理对某个ｎ不成立，方程（７）有正整数解，但解也至多有有限组。
１９８４年，艾德勒曼与希思布朗证明了第一种情况的费尔马大定理对无限多个ｐ成立。他们的工作利用了福夫雷的一个重要结果：有无穷多个对素数ｐ与ｑ，满足ｑ｜ｐ－１及ｑ＞ｐ２／３个。而福夫雷的结果又建立在对克路斯特曼的一个新的估计上，后者引起了不少数论问题的突破。
现在还不能肯定费尔马大定理一定正确，尽管经过几个世纪的努力。瓦格斯塔夫在１９７７年证明了对于ｐ＜１２５０００，大定理成立。最近，罗寒进一步证明了对于ｐ＜４１００万，大定理成立。但是，费尔马大定理仍然是个猜测。如果谁能举出一个反例，大定理就被推翻了。不过反例是很难举的。