第24章 五家共井
今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何！
用水桶到井中取水，当然少不了绳索，“绠”就是指“绳索”。原题的意思是：
五家共用一水井。井深比２条甲家绳长还多１条乙家绳长；比３条乙家绳长还多１条丙家绳长；比４条丙家绳长还多１条丁家绳长；比５条丁家绳长还多１条戊家绳长；比６条戊家绳长还多１条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索，刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少？
虽然该问题是虚构的，它是最早的一个不定方程问题。
用现代符号，可设甲、乙、丙、丁、戊各家绳索长分别为ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ；并深为ｈ。
根据题意，可得
2x+y=h，
3y+z=h，
4z+u=h，
5u+v=h，
6v+x=h。
这是一个含有６个未知数、５个方程的方程组。未知数的个数多于方程个数的方程（或方程组）叫不定方程。
用加减消元法可得
x=265721h，y=191721h，z=148721h，
u=129721h，v=76721h。
给定ｈ不同的数值，就可得到ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ的各个不同的数值。只要再给定一些特定条件，就可得到确定的组解。原书中只给出一组解，是最小正整数解。
我国古代数学家在《九章算术》的基础上，对不定方程作出了辉煌的成绩。“五家共井”问题是后来百鸡术及大衍求一术的先声。
“五家共井”问题，曾引起世界上很多数学家的注视。在西方数学史书中，把最早研究不定方程的功绩归于希腊丢番都。其实，他在公元２５０年左右才研究这些问题，要比我国迟２００多年。
公元６世纪上半期，张丘建在他的《张丘建算经》中有一个百鸡问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏生，值钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？
意思是，如果１只公鸡值５个钱；１只母鸡值３个钱；３只小鸡值１个钱。现用１００个钱，买了１００只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少？
设公鸡、母鸡、小鸡分别为ｘ、ｙ、ｚ只，则可得不定方程消去ｚ不难得出
5x+3y+13z=100
x+y+z=100
消去ｚ不难得出
y=7x4
因为ｙ是正整数，所以ｘ必须是４的倍数。
设ｘ＝４ｔ，则ｙ＝２５－７ｔ，ｚ＝７５＋３ｔ
∵ｘ＞０，∴４ｔ＞０，ｔ＞０；
又∵ｙ＞０，∴２５－７ｔ＞０，ｔ＜347
故ｔ＝１，２，３。
∴原方程组有三组答案：
{ｘ＝４，ｙ＝１８，ｚ＝７８ {ｘ＝８，ｙ＝１１，ｚ＝８１ {ｘ＝１２，ｙ＝４，ｚ＝８４
数学史家评论说，一道应用题有多组答案，是数学史上从未见到过的，百鸡问题开了先例。《张丘建算经》中没有给出解法，只说：“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”意思是：如果少买７只母鸡，就可多买４只公鸡和３只小鸡。因为７只母鸡值钱２１，４只公鸡值钱２０，两者相差３只小鸡的价格。只要得出一组答案，就可推出其余两组。但这解法怎么来的？书中没有说明。因此，所谓“百鸡术”即百鸡问题的解法就引起人们的极大兴趣。
稍后，甄鸾在《数术记遗》一书中又提出了两个“百鸡问题”，题目意思与原百鸡问题相同，仅数字有所区别。到了宋代，着名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，也引用了类似的问题：
“钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文。问各买几何？”
到了明清时代，还有人提出了多于三元的“百鸡问题”。不过，各书均与《张丘建算经》一样，没有给出问题的一般解法。
７世纪时，有人对百鸡问题提出另一种解法，但只是数字的凑合。到了清代焦循在他的《加减乘除释》一书中指出其错误。之后，不断有人提出新的解法，但都没有完全得到普遍解决此类题目的通用方法。例如丁取忠在他的《数学拾遗》中给出一个比较简易的解法：先设没有公鸡，用１００个钱买母鸡和小鸡共１００只，得母鸡２５只、小鸡７５只。现在少买７只母鸡，多买４只公鸡和３只小鸡，便得第一组答案。同理可推出其余两组。直到１９世纪，人们才把这类问题同“大衍求一术”结合起来研究。
百鸡问题是一个历史名题，在世界上有很大影响。国外常见类似的题目。